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    黎曼猜想即將解開?一篇文章講清楚這個“純數學領域最重要的問題之一”

    黎曼猜想即將解開?一篇文章講清楚這個“純數學領域最重要的問題之一”

    昨天,一條大新聞炸翻了學術界:著名數學家、菲爾茲獎和阿貝爾獎雙料得主阿提亞爵士(Sir Michael Francis Atiyah)宣布要在本月24號(也就是3天后)在海德堡宣講自己對于黎曼猜想的證明。本文來自微信公眾號:果殼(ID:Guokr42),作者: Yilong(群論研究公眾號,清華大學丘成桐數學中心助理教授,UCLA數學PhD),原文標題:《黎曼猜想即將解開?這個“純數學領域最重要的問題之一”,一篇文章講清楚》。


    數學家們有個笑話:怎樣用世界上最難的方法掙到100萬美元?


    答:去證明黎曼猜想吧!


    這是因為2000年5月的時候,美國克雷數學研究所(Clay Mathematics Institute, CMI)為了呼應1900年希爾伯特提出的23個歷史性數學難題(也稱“希爾伯特難題”)而設立的了一個成為“千禧難題”的數學問題挑戰,一共7個問題,解出一道便可獲得100萬美元的獎金,挑戰時間不限,題解必須發表在國際知名刊物上,并且要通過2年的驗證期和專家小組的審核。


    這7個問題中,以黎曼猜想最為著名,它是數論的分支解析數論的一大研究主題:質數的分布。據說,每年各大研究中心都會收到無數的神秘來信聲稱自己證明了“黎曼猜想”,數學家們躍躍欲試,科學界也一直熱切關注。


    所以備受矚目的“黎曼猜想”究竟是個啥?跟我們有關系嗎?


     請收看《黎曼猜想,質數陰謀論,以及你不能說的秘密》:


    一、為什么研究質數


    黎曼猜想是一個數論里面的重要猜想,幾百年來無人能解。那么,這么困難復雜的數學猜想,跟你有關系嗎?請先看我瞎編的這樣一個故事:


    有一天,我的一個學數學的朋友給我發了一條微信,里面只有一串數,983040000。


    我看到了之后,頓時覺得不妙,趕緊約這個朋友出來談心。果然,他被女友甩了,悲傷絕望,有點想不開。


    終于,在我的勸說下,朋友成功走出了陰霾,找回了面對人生的信心。


    那么我是怎么知道這個朋友不開心的呢?因為983040000=219·31·54。這里面把質數從小到大排序:


    ? 第一小的質數(也就是2)出現了19次;


    ? 第二小的質數(也就是3)出現了1次;


    ? 第三小的質數(也就是5)出現了4次。


    因此如果認為這代表一個單詞,那么第一個位置上的字母是第19個字母(S),第二個位置上的字母是第1個字母(A),而第三個位置上的字母是第4個字母(D):合起來就是SAD。所以我知道這個朋友一定遇到傷心的事情了。


    當然這個故事是我瞎編的。但是我們的生活中,無論是銀行數據,還是國家機密,還是個人隱私,這些東西的保護都離不了密碼,離不了加密的手段。


    如果我想給你一串信息,又不想讓其他人知道,怎么辦呢?咱倆可以先商量好幾個特別特別大的質數,比如說p、q和r。如果我想給你發送一個秘密的數字378,那么我實際上給你發送p3q7r8,一個巨大無比的數字。從我這里的角度,我可以很輕易的用計算機算出來這個乘法,得到結果發給你。從你的角度,你拿到了這個巨大的數字之后,只需要用p、q和r去除,就可以很快把冪解出來,得到378。


    但是假設某個壞蛋截取了我發的這個秘密信息,那么想要知道內容,他就必須分解質因數。然而在不知道p、q和r的前提下,分解質因數是一個非常復雜和緩慢的過程,他可能需要好幾百年才能破譯出來。如此,我們的秘密就得到了保護。


    這里面注意,p、q和r都必須要特別大,這時候分解質因數才會特別慢,甚至幾百幾千年。如果p、q和r分別是2,3和5,那么分解質因數就非常快了,可能一秒鐘完事。


    所以說,找到大的質數,了解質數都分布在哪里,是一個十分重要的事情。


    二、質數規律


    數學家多年研究,發現了一個驚人的事情:質數分布最大的規律,就是它幾乎完全隨機!


    這里我們舉一個簡單的例子。假設我們從0到1之間均勻地隨機挑一個實數。那么首先,我們知道這個實數的平均值應該是1/2。另一方面,這個隨機的實數當然不一定是1/2,1/2只是在描述它平均的時候的樣子。實際上它和1/2往往會有一定的正的或者負的偏差。


    一個數學家發現的重大規律就是這個:平均來講,1到n的正整數中一共有


    個質數。當然,這并不是說1到n里面一定有恰好n/ln(n)個質數。對于有的n來說,1到n里面的質數比較多一點。而對于有的n來說,1到n里面的質數比較少一點。但是隨著n越來越大,n/ln(n)個質數的這個估計就必然會越來越準確。


    所以如果有人問你,1到10100里有多少個質數呀?你大可以拍拍腦袋說,我猜有


    個質數,基本離正確答案不會差太遠。一般來說,如果我們用π(n)來代表1到n里面的質數個數的話,那么


    會如下圖所示,逐漸趨于1。


    prime number theorem | wikipedia


    事實上,隨著人們對質數的了解越來越多,我們越來越發現,在宏觀上來講,質數幾乎等于是按照這個n/ln(n)來進行的一種均勻分布。無論是你去數質數的個數,還是計算所有質數的和,還是研究孿生質數,都會發現質數呈現出一種驚人的宏觀均勻性。這就好像有一個操場上有無數多個學生,盡管每個學生都在瞎走一氣,毫無規律可循,但是總體來看,居然發現操場上每個平方米里都恰好塞了4個學生!這真是很難想象的事情。但是目前來說,幾乎我們對質數的一切了解,都在指向這個方向。


    這也進一步說明了,為什么質數特別適合做密碼:因為質數本身就幾乎是隨機的,很難找到具體的規律,因此最適合作為加密的手段。


    三、那么怎么研究質數


    咱們先別想那么多。假設我們就想研究三個數字,1,2,3。


    怎么研究呢?一種研究方法是,我們可以考慮研究這個函數:



    我宣稱,這個函數的性質就包含了1,2,3的一切性質。為什么呢?


    假設我們取s=10。那么這時候f(10)=1+1024+59049=60074。大家可以看到,這時候我們的f(10)和310沒差多少。事實上,隨著s越來越大,1s+2s相對于3s來說就越可以忽略不計。所以f(s)的這個s趨于無窮的極限的性質,其實就包含了一切的3的性質。


    反過來,我們取s=-10。那么這時候f(10)=1+特別特別小+更加小,約等于1。可見,f(s)的這個s趨于負無窮的極限的性質,其實就包含了一切的1的性質。


    那么怎么研究放在中間的2呢?這時候我們就要取復數了。考慮



    當然,大家未必知道怎么計算復數冪,那么我直接把答案寫出來吧。這時候,1s仍然是1,因為1的任何冪都是1。而2s是某個復數。最后,神奇的是,這個時候恰恰好3s=-1,哇!所以說



    這個時候研究f(s)就等于是在研究2,因為1的部分和3的部分完全抵消掉了。


    更廣義的來說,如果我們想研究所有的正整數,那么只要我們搞清楚函數


    的一切性質,那么我們就搞清楚了全部的正整數。通過調整不同的s的值,我們就可以得到各種各樣的抵消。


    四、黎曼猜想


    黎曼定義了一個ζ函數(念zeta)



    這基本上和我們之前定義的差不多,只是差了一個負號。(黎曼定義這個負號,是因為希望s越大收斂性質越好。)這里面s可以去各種各樣的復數,而對應的這個函數的值可能是無窮,可能是0,也可能是某個其他的復數。


    黎曼猜想宣稱,如果ζ(s)=0,那么s的實數部分一定是1/2。換句話說,s一定是1/2+b·的樣子。


    但是為什么我們要在乎ζ(s)=0的值呢?


    一般來說,我們調整各種各樣的s的值的時候,ζ(s)里面合數的部分往往隨隨便便就被質數的部分“吸收”了,而質數和質數的冪相對來說就很卻難被消掉,往往會殘留下來。那么如果你恰好發現,對于某個s,ζ(s)居然等于0,也就是說質數也都消光了。這就說明質數里面必然存在的某種針對這個s的結構。可以這樣想,一般來說,我們每找到ζ(s)的一個根,就等于找到了一個質數里面的規律。


    而一般來說,不妨這樣認為:一個根s的實數部分是1/2時,這對應的往往是最“沒用”的規律。一個根s的實數部分離1/2如果很遙遠,就意味著質數存在某種驚人的巨大的結構性。(按照陶哲軒的話說,說明所有的質數們都一起針對這個s的值存在著某種驚天的陰謀!)所以黎曼猜想等于是在說,質數最大的規律,就是沒有什么突出的規律。這樣看來,黎曼猜想是一種悲觀論調。


    那么,如果黎曼猜想是正確的,那么說明質數是沒有驚天的結構的,是幾乎均勻的隨機的。這等于說,我們進一步驗證了“質數其實是按照n/ln(n)來進行隨機均勻分布的”這個數學直覺。學過概率統計的同學可能知道,隨機數往往符合大數定理。黎曼猜想正確的一個明顯的后果就是,質數不僅僅似乎是按照n/ln(n)的概率均勻分布,而且還符合大數定理!而大數定理對于隨機數的研究是至關重要的。同理,黎曼猜想對于質數的研究也是至關重要的。


    因此,不出意外的,如果黎曼猜想是正確的,那么無數個我們對數論的猜想和直覺都會得到驗證。


    五、黎曼猜想錯了,天會不會塌?


    如果能夠找到黎曼猜想的反例,那么反而是一個天大的喜事!為什么?因為一旦我們找到了一個ζ(s)=0的根,且s的實數部分遠離了1/2,這就說明我們找到了一個關于質數的極其重要的規律!(發現了質數們的驚天陰謀!)這個規律很可能會我們對數的研究和認識帶來驚天動地的飛躍。


    恰恰是,如果黎曼猜想被證明了,反而無關緊要。大家早就猜測黎曼猜想是正確的了,很多數學家早就已經在假設黎曼猜想正確的前提下,繼續往前研究了。所以如果有人證明黎曼猜想是正確的,這只不過是驗證了我們一直以來都沒錯而已,卻并不能夠帶來進步。


    事實上,這有一個更有趣的現象。有很多的數學定理,比如說Littlewood定理,居然是這樣證明的:


    1) 假設黎曼猜想是正確的。那么質數具有非常美好的宏觀均勻性。那么運用美好的宏觀均勻性,證明了Littlewood定理。(Littlewood定理在這部分大概用了12頁。)


    2) 假設黎曼猜想是錯誤的。那么黎曼猜想的反例就會給出一種質數之間的驚人的結構。這種結構甚至可以讓你一步登天,直接證明Littlewood定理。(Littlewood定理在這部分大概只用了半頁。)


    3) 所以說,無論黎曼定理是對的還是錯的,反正Littlewood定理都是對的。證明完畢。


    另外,大家可以看到,黎曼定理錯誤的時候,往往是證明更簡潔更方便的時候!


    總結一下,哪怕我們永遠也不會知道黎曼猜想的對錯,僅僅是黎曼猜想這個概念,就已經對數學產生了很大的推進作用。這就好像夢想一樣,無論能否實現,都能讓我們成為更好的人。


    本文來自微信公眾號:果殼(ID:Guokr42),作者: Yilong(群論研究公眾號,清華大學丘成桐數學中心助理教授,UCLA數學PhD)。

    *文章為作者獨立觀點,不代表虎嗅網立場
    本文由 果殼? 授權 虎嗅網 發表,并經虎嗅網編輯。轉載此文請于文首標明作者姓名,保持文章完整性(包括虎嗅注及其余作者身份信息),并請附上出處(虎嗅網)及本頁鏈接。原文鏈接:http://www.kzcl.tw/article/264064.html
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